| Transponovaná matice a její hodnost | Matice A', která vznikne tak, že zaměníme řádky za sloupce, přičemž zachováme jejich pořadí, se nazývá matice transponovaná k matici A.
Jestliže v matici A zaměníme pořadí sloupců, pak takto vzniklá matice má s maticí A stejnou hodnost. |
| Věta o hodnosti transponované matice | jsou-li A a A' navzájem transponované matice, jejich hodnost je stejná. |
| Frobeniova podmínka | Soustava lineárních rovnic (S) má řešení jen tehdy, když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice.
h = hr |
| Gaussova a Jordanova metoda | Gaussova: převedeme matici na trojúhelníkový tvar
Jordanova: převedeme na jednotkovou matici (nulujeme pod a nad hlavní diagonálou, na hlavní diagonále samé jedničky) |
| Homogenní soustava lineárních rovnic | V homogenní soustavě lineárních rovnic jsou všechny pravé strany rovnic rovné nule. |
| Věta o počtu řešení homogenní soustavy | Homogenní soustava lineárních rovnic má vždy řešení. Označíme-li h hodnost matice soustavy a n za počet neznámých, platí:
a) Jestliže h=n, pak má homogenní soustava jediné řešení x=(0, ... ,0).
b) Jestliže h<n, pak má homogenní soustava nekonečně mnoho řešení, přičemž za n-h neznámých lze volit libovolná reálná čísla a ostatní neznámé jsou určeny jednoznačně. |
| Věta o počtu řešení soustavy | Předpokládejme, že soustava lineárních rovnic (S) má řešení, h je hodnost matice soustavy a n je počet neznámých. Potom platí:
a) Jestliže h=n, pak má soustava právě jedno řešení.
b) Jestliže h<n, soustava má nekonečně mnoho řešení, přičemž za n-h neznámých lze volit libovolná reálná čísla a ostatní neznámé jsou určeny jednoznačně. |
| Součet matic | Nechť A, B jsou matice typu m x n. Matice X typu m x n, pro kterou platí xij = aij + bij (i=1,2...,m;j=1,...,n) se nazývá součet matic A,B a značí se A+B.
X tedy odpovídá součtu složek v matici A a B. |
| Reálný násobek matice | Nechť A je matice typu m x n, c je reálné číslo. Matice X typu m x n, pro jejíž prvky platí xij = caij (i=1,...,m;ji1,...,n) se nazývá reálný násobek matice A značí se cA. |
| Součin matic | Nechť A je matice typu m x n, B je matice typu n x p (stejný počet řádků).
Matice X typu m x p, pro jejíž prvky xij (i=1,...,m; j=1,...n) platí xij = skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B se nazývá součin matic A,B a značí se AB. |
| Regulární a singulární matice | Matice A se nazývá regulární, jestliže je čtvercová a má lineárně nezávislé řádky. Čtvercová matice, jejíž řádky jsou lineárně závislé, se nazývá singulární. |
| Inverzní matice | Nechť A je čtvercová matice. Matice X, pro kterou platí AX = J se nazývá inverzní matice k matici A. |
| Věta o existenci a jednoznačnosti inverzní matice | Inverzní matice A existuje jen tehdy, když A je regulární. je-li A regulární matice, pak inverzní matice k matici A je určena jednoznačně. |
| Věta o navzájem inverzních maticích | Je-li A regulární matice, pak matice k ní inverzní A-1 je opět regulární a platí
(A^-1)^-1 = A. |
| Maticové rovnice | Jestliže A je regulární matice řádu n, B je libovolná matice typu n x p, pak maticová rovnice AX=B má právě jedno řešení X=A^-1*B.
Za stejných podmínek má rovnice XA=B právě jedno řešení X=B*A^-1 |
| Věta o maticovém řešení soustavy | Jestliže matice A je regulární, pak soustava lineárních rovnic Ax = b má právě jedno řešení x = A^-1 * b |
| Definice determinantu 2. a 3. řádu | Determinant druhého řádu se počítá odečtením součinu položek na hlavních diagonálách. Determinant třetího řádu se dá spočítat Sarusovým pravidlem. |
| Výpočet determinantů vyšších řádů | Determinant čtvrtého a vyššího řádu se dá počítat rozvojem nebo převodem na trojúhelníkový tvar. |
| Věta o rozvoji determinantu | Jestliže A je čtvercová matice řádu n. pak pro i=1,...,n platí:
det A = (-1)^i+1 * ai1 * subdeterminant, který vznikne z determinantu matice A po vynechání i-tého řádku a j-tého sloupce. |
| Věta o determinantu transponované matice | det A = det A' |
| Věta o řadových úpravách determinantu | Pro řadové úpravy determinantu platí:
Násobíme-li libovolnou řadu determinantu číslem c, potom se číslem c násobí celý determinant.
Vyměníme-li navzájem v determinantu dvě rovnoběžné řady, pak determinant změní znaménko.
Přičteme-li k některé řadě determinantu libovolnou lineární kombinaci řad s ní rovnoběžných, pak se hodnota determinantu nezmění. |
| Věta o determinantu trojúhelníkové matice | Je-li čtvercová matice A trojúhelníková, pak její determinant je roven součinu prvků na hlavní diagonále. |
| Cramerovo pravidlo | Mějme soustavu n lineárních rovnic o n neznámých x1,...,xn. Jestliže matice soustavy A je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, které se dá rozepsat ve tvaru xj = det Aj/det A (j=1,...,n), kde Aj je matice, která vznikne z matice soustavy A po náhradě j-tého sloupce sloupcem pravých stran rovnic soustavy. |
| Charakteristická čísla matice | Nechť A je čtvercová matice. Komplexní číslo λ vyhovující rovnici
det (A - λj) = 0
se nazývá charakteristické (vlastní) číslo matice A.
Rovnice det (A - λj) = 0
se nazývá charakteristická rovnice matice A. |
| Lineární kombinace vektorů | Říkáme, že vektor x je lineární kombinací vektoru x1,...,xr, jestliže existují reálná čísla c1, ... ,cr, z nichž alespoň jedno je je různé od nuly; (c1*x1+ ...cr*xr = O. V opačném případě jsou vektory nezávislé. |
| Skalární součin | Skalární součin vektorů (x1,...,xn) a (y1,...,yn) je reálné číslo, které je definováno vztahem
xy = x1*y1+ x2*y2 ... + xn*yn. |
| Lineární závislost a nezávislost vektorů | Vektory x1, ... , xr se nazývají lineárně závislé, jestliže existuje jejich netriviální lineární kombinace, která je rovna nulovému vektoru. Tedy jestliže existují reálná čísla c1, ... , cr z nichž alespoň jedno je různé od nuly:
(c1 * x1 + ... + cr * xr = 0). V opačném případě jsou nezávislé. |
| Nutná a postačující podmínka lineární závilosti vektorů | Vektory x1, ... , xr jsou lineárně zavislé jen tehdy, když alespoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních. |
| Matice | Uspořádané schéma reálných čísel se nazývá matice typu m x n. |
| Rovnost matic | Matice si jsou rovné, jestliže jsou všechny složky totožné a na stejných místech. |
| čtvercová matice | Matice typu n x n se nazývá čtvercová matice řádu n. |
| Hodnost matice | Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A se nazývá hodnost matice. |
| Věta o hodnosti trojúhelníkové matice | Je-li trojúhelníková matice typu m x n, pak je její hodnost rovna počtu řádků. |
| Věta o elementárních řádkových úpravách matice | Hodnost matice se nezmění, pokud v ní uděláme následující tzv. elementární řádkové úpravy:
-zaměníme pořadí řádků
-vynásobíme libovolná řádek nenulovým reálným číslem
-přičteme k libovolnému řádku matice lin. kombinaci ostatních
-vynecháme řádek matice, který je lineární kombinací ostatních |
