| a che cosa equivale il valore atteso di una v.a. graficamente? | all'area complementare a quella sottesa dalla funzione di ripartizione |
| che cosa descrive un modello uniforme continuo?
supporto e funzione di densità? | descrive la probabilità che una variabile casuale assuma un valore in un intervallo specifico di valori reali. In questo modello, tutti i valori all'interno dell'intervallo sono equiprobabili, mentre quelli al di fuori dell'intervallo hanno probabilità zero |
| che cosa mira a rappresentare il modello esponenziale?
supporto e funzione di densità di massa?
cosa significano i parametri? | descrive la probabilità del tempo di attesa di un evento casuale
- lambda è il tasso di occorrenza degli eventi |
| che cosa mira a rappresentare il modello Gaussiano?
supporto e funzione di densità di massa? | viene usata per usata come prima approssimazione per descrivere variabili casuali a valori reali che tendono a concentrarsi attorno a un singolo valor medio. |
| che cosa dice la legge Empirica? | Se un campione numerico è approssimativamente normale, ha media campionaria μ e deviazione standard s, allora:
(1) Circa il 68% dei suoi dati cade nell’intervallo μ ± s
(2) Circa il 95% dei suoi dati cade nell’intervallo μ ± 2s
(3) Circa il 99.7% dei suoi dati cade nell’intervallo μ ± 3s |
| che cosa afferma il teorema centrale del limite? | Il teorema centrale del limite (TCL) afferma che la distribuzione della media di un campione casuale di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite tende a una distribuzione normale, indipendentemente dalla distribuzione di probabilità della singola variabile casuale. in formule: |
| che relazione intercorre fra la funzione di ripartizione e la funzione cumulativa empirica? | la seconda è una approssimazione della prima e può essere utilizzata per un approssimazione di una variabile aleatoria che è il risultato della somma di più variabili aleatorie |
| come dimostrare che il modello esponenziale gode dell'assenza di memoria? | partendo dalla funzione di ripartizione |
| dimostrare che l'area sottesa dalla funzione di ripartizione nel caso di modello uniforme continuo è uguale a 1 | dimostrazione 6.1.2: |
| Sappiamo che X ∼ U([0,30]) e X è il minuto, dalle 07:00 in poi, nel quale arrivo alla fermata dell’autobus: qual'è la probabilità che io attenda meno di 5 minuti per l’autobus, sapendo che l’autobus passa una volta ogni 15 minuti | soluzione 6.1.3: |
| dimostra che il modello Esponenziale gode dell'assenza di memoria | dimostrazione 6.2.2: |
| data una variabile aleatoria X distribuita con modello esponenziale, a cosa equivale la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria Y dato che Y = c *X? | considerazione 6.2.4: |
| La mia X ∼ E(1) rappresenta le ore necessarie per riparare un macchinario, qual' è la probabilità che io ci impieghi più di 2 ore per ripararlo? | esercizio 6.2.5: |
| La mia X ∼ E(1) rappresenta le ore necessarie per riparare un macchinario,
Qual' è la probabilità che io ci impieghi almeno 3 ore dato che prima ce ne ho messe 2 di ore? | esercizio 6.2.5: per l'assenza di memoria di cui è dotata l'Esponenziale |
| La mia X ∼ E (1/20) rappresenta le migliaia di km che l’auto percorre prima di rompersi. Ho usato l’auto per 10k km, la vendo e il compratore si domanda la probabilità che duri altri 20 k km? | esercizio 6.2.6: sempre per la proprietà di assenza di memoria della v.a. esponenziale |
| La mia X ∼ U(0, 40) rappresenta le migliaia di km che l’auto percorre prima di rompersi. Ho usato l’auto per 10k km, la vendo e il compratore si domanda la probabilità che duri altri 20km? | esercizio 6.2.6: |
| come si dimostra che la densità di una normale in μ è tanto più grande tanto σ è piccola | 6.3.3: applicando la definizione di funzione di densità: quindi, in μ, la densità sarà tanto piu grande tanto quanto la varianza al denominatore sarà piccola |
| a cosa equivale la somma di due variabili aleatorie gaussiane? | 6.3.4. corrisponde ad una terza variabile aleatoria con parametri: |
| che cosa prevede il concetto di riproducibilità? | 6.3.7: sommando variabili aleatorie che hanno un modello comune, ottengo una variabile aleatoria che fa ancora parte di quel modello comune, questo concetto è noto come riproducibilitàper esempio con la variabile aleatoria gaussiana: questa proprietà vale oltre che per le gaussiane per le poissoniane e le binomiali |
| verificare che: | 6.3.13: |
| Ipotizzo di avere 25000 polizze auto e X è il risarcimento annuo di un cliente. Mi aspetto di risarcire intorno ai 320 euro ogni cliente, quindi E(X) = 320 euro, con una deviazione di σx = 540 euro: qual'è la probabilità di dover risarcire più di 8.3 · 10^6 euro?
quale è la soglia entro quale l'approssimazione trovata continua a valere? | 6.3.14:
bisogna utilizzare il TCL per approssimare con una Normale.
successivamente bisogna normalizzare
- per trovare l'approssimazione bisogna utilizzare la funzione cumulativa empirica |
| La media delle precipitazioni del 2022 è 12.08cm mentre la deviazione standard è 9.1cm. Le precipitazioni del 2022 sommate a quelle del 2023(di uguali parametri), supereranno i 25cm? | 6.3.16:
siccome si tratta di sommatorie di v.a. con la stessa distribuzione si può usare il Teorema Centrale del Limite per poter approssimare con una normale e da là...
μ = 2 * 12.08
sigma = sqrt(2) sigma
RICORDARSI DI NORMALIZZARE |
| in una distribuzione uniforme continua, quale è la probabilità che X appartenga ad un intervallo I? | 6.1.1 |
| se X ~ G(μ,σ) e Y = (X - μ) / σ
a quanto equivalgono i parametri di Y? | 6.3.5 |
| la funzione di densità deve essere compresa tra 0 e 1? | no, deve essere positiva ma può anche essere maggiore di 1, basta che integri a 1 |
| a che cosa equivale il valore atteso di una v.a. graficamente? | all'area complementare a quella sottesa dalla funzione di ripartizione |
| perchè la normale standard non ha senso calcolare la funzione di densità per x con valori negativi? | poichè la funzione di densità è simmetrica rispetto a mu , e siccome mu è posizionata su X = 0 è simmetrica rispetto all'asse... |
| che cosa rappresentano graficamente i parametri della Normale?
come mai nella Normale viene usato come parametro la deviazione standard e non la varianza? | mu : indica la posizione dell'asse di simmetria
sigma : indica l'ampiezza della curva (e altezza)
non viene usata la varianza poichè avrebbe una unità di misura diversa da quella di mu dato che sarebbe ^2 |
| data una variabile aleatoria e fissato il parametro alfa, trovare il valore di n tale per cui: | con applicazione del TCL e della funzione di rip. della gaussiana standard: |
| dimostrare che per uno stimatore: | il fatto che la stima ricada in un intervallo è possibile approssimarlo tramite l'utilizzo della funzione di ripartizione di una normale standard |
| come può essere approssimato un modello esponenziale? | come un modello geometrico considerando intervalli piccoli di tempo |
| dimostrare che se si considerano le variabili aleatorie esponenziali X1,X2,...,Xn allora la variabile aleatoria min(Xi) è esprimibile come distribuzione esponenziale che ha come parametri la somma dei parametri | - se la minore X è maggiore di x allora tutte le altre X sono maggiori di x- siccome sono indipendenti posso fare la produttoria |
| come influisce il parametro lambda sui grafici di una variabile aleatoria esponenziale? | più il tasso di occorrenza sarà alto più il grafico di densità sarà in pendenza |
| come mai è così importante la variabile normale standard? | poichè la funzione di ripartizione di ripartizione di una variabile Normale abbiamo visto che ha una forma analitica molto complessa |
| quanto vale la funzione di densità di una normale standard nel punto 0? | vale 1/2 perchè intuitivamente corrisponderà al punto medio della funzione di ripartizione di una standard che, siccome ha valori compresi tra 0 e 1 . il punto medio sarà .5 |
| che cosa significa calcolare la mediana di una variabile aleatoria? dove si colloca questa nel grafico della Normale? | è quel valore reale m tale che P(X <= m) = P(X >= m) = 1/2.
nel grafico di una Normale questa coinciderà sempre con la media poichè l'are a destra sarà uguale all'area di sinistra |
| come si calcola la moda di una variabile aleatoria? | la moda sarà quel valore sull'asse X tale per cui la funzione di massa/densità avrà valore massimo |
| a che cosa corrisponde il quantile di livello q[a,b] di una variabile aleatoria? | è la specificazione di x tale per cui P(X <= x) = q
in altre parole è il punto x per cui l'area sottesa dalla funzione di massa/densità fino al punto x sia uguale a q.
esempio per il quantile 0.1 |
